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LIVRO I. DOS ELEMENTOS
DE
EUCLIDES

DEFINIÇÕES.

  1. Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.
  2. Linha é o, que tem comprimento sem largura.
  3. As extremidades da linha são pontos.
  4. Linha recta é aquella, que está posta egualmente entre as suas extremidades.
  5. Superfície é o, que tem comprimento e largura.
  6. As extremidades da superfície são linhas.
  7. Superfície plana é aquella, sobre a qual assenta toda uma linha recta entre dous pontos quaesquer, que estiverem na mesma superfície.
  8. Angulo plano é a inclinação reciproca de duas linhas, que se tocam em uma superfície plana, sem estarem em direitura uma com a outra.
  9. Angulo plano rectilineo é a inclinação reciproca de duas linhas rectas, que se encontram, e não estão em direitura uma com outra.

Se alguns angulos existirem no mesmo ponto B ( Fig. 1 ), cada um delles vem indicado com tres letras do alfabeto; e a, que estiver no vertice do angulo, isto he, no ponto, no qual se encontram as rectas, que formam o angulo, se põe no meio das outras duas; e destas uma está posta perto de uma das ditas rectas, em alguma parte, e a outra perto da outra linha. Assim o angulo feito pelas rectas AB, CB representar-se-ha com as letras ABC, ou CBA; o angulo formado pelas rectas AB, DB, com as letras ABD, ou DBA; e o angulo que fazem as rectas DB, CB, com as letras DBC, ou CBD. Mas, se um angulo estiver separado de outro qualquer, poder-se-ha marcar com a mesma letra, que estiver no vertice, como o angulo no ponto E ( Fig. 2 )


Fig. 1


Fig.2
  1. Quando uma linha recta, caindo sobre outra linha recta, fizer com esta dous angulos eguaes, um de uma, e outro de outra parte, cada um destes angulos eguaes se chama angulo recto; e a linha incidente se diz perpendicular á outra linha, sobre a qual cae ( Fig. 3 ).


Fig. 3
  1. Angulo obtuso é o, que é maior, que o angulo recto ( Fig. 4 ).


Fig. 4
  1. Angulo agudo é o, que é menor, que o angulo recto ( Fig. 5 ).


Fig. 5
  1. Termo se diz aquillo, que é extremidade de alguma cousa.
  2. Figura é um espaço, fechado por um ou mais termos.
  3. Circulo é uma figura plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circumferencia: de maneira que todos as linhas rectas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circumferencia, são eguaes entre si ( Fig. 6 ).


Fig. 6
  1. O dicto ponto se chama centro do circulo.
  2. Diametro do circulo é uma linha recta,que passa pelo centro, e que se termina por ambas as partes na circumferencia.
  3. Semicirculo é uma figura, comprehendida entre o diametro e aquella parte da circumferencia do circulo, que é cortada pelo diametro.
  4. Segmento de circulo é uma figura, comprehendida entre uma linha recta e uma porção da circumferencia.
  5. Figuras rectilineas são as, que são formadas com linhas rectas.
  6. As trilateras são aquellas, que são formadas com tres linhas rectas.
  7. As quadrilateras são aquellas, que são feitas por quatro linhas rectas.
  8. As multilateras são as, que são feitas por mais de quatro linhas rectas.
  9. Entre as figuras trilateras o triangulo equilatero é o, que tem os tres lados eguaes ( Fig. 7 ).


Fig. 7
  1. Triangulo isosceles é o, que tem dous lados eguaes ( Fig. 8 ).


Fig. 8
  1. Triangulo scaleno é o, que tem os tres lados desiguaes ( Fig. 9 ).


Fig. 9
  1. Triangulo rectangulo é o, que tem um angulo recto ( Fig. 10 ).


Fig. 10
  1. Triangulo obtusangulo é o, que tem um angulo obtuso ( Fig. 11 ).


Fig. 11
  1. O triangulo acutangulo é o, que tem todos os angulos agudos ( Fig. 12 ).


Fig. 12
  1. Entre as figuras quadrilateras o quadrado é o, que é junctamente equilatero e rectangulo ( Fig. 13 ).


Fig. 13
  1. E a figura, que de uma parte for mais comprida, pode ser rectangula, mas não equilatera ( Fig. 14 ).


Fig. 14
  1. Mas o rhombo é uma figura equilatera, e não rectangula ( Fig. 15 ).


Fig. 15
  1. Rhomboide é uma figura, que, tendo os lados opostos eguaes, nem é equilatera nem equiangula ( Fig. 16 ).


Fig. 16
  1. Todas as mais figuras quadrilateras, que não são as referidas, se chamam trapezios.
  2. Linhas parallelas ou equidistantes são linhas rectas, que existindo no mesmo plano, e sendo produzidas de ambas as partes, nunca se chegam a tocar ( Fig. 17 ).



Fig. 17

 

 

LIVRO I. DOS ELEMENTOS
DE
EUCLIDES

 

POSTULADOS.

  1. Pede-se como cousa possivel, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha recta.
  2. E que uma linha recta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessario.
  3. E que com qualquer centro e qualquer intervallo se descreva um circulo.

 

AXIOMAS.

  1. As cousas, que são eguaes a uma terceira, são eguaes entre si.
  2. Se a cousas eguaes se junctarem outras eguaes, os todos serão iguaes.
  3. E, se de cousas eguaes se tirarem outras eguaes, os restos serão iguaes.
  4. E, se a cousas deseguaes se ajunctarem outras eguaes, os todos serão deseguaes.
  5. E, se de cousas deseguaes se tirarem cousas eguaes, os restos serão deseguaes.
  6. As quantidades, das quaes cada uma por si faz o dobro de outra quantidade, são eguaes.
  7. E aquellas, que são ametades de uma mesma quantidade, são tambem eguaes.
  8. Duas quantidades, que se ajustam perfeitamente uma com outra, são eguaes.
  9. O todo é maior do que qualquer das suas partes.
  10. Duas linhas rectas não comprehendem espaço.
  11. Todos os angulos rectos são eguaes.
  12. E se uma linha recta, encontrando-se com outras duas rectas, fizer os angulos internos da mesma parte menores que dous rectos, estas duas rectas, produzidas ao infinito concorrerão para a mesma parte dos dictos angulos internos. ( Veja-se a nota sobre a Proposição29 do Livro I. ).

Estes sinaes = , > , < , de que os Mathematicos usam frequentemente, servem para maior brevidade.

O sinal = significa, que o primeiro termo é egual ao segundo.

> Que o primeiro termo é maior que o segundo.

< Que o primeiro termo é menor que o segundo.

 

Assim A=B significa, que A é egual a B.

A>B que A é maior que B.

A<B que A é menor que B.

 

PROPOSIÇÃO I. PROBLEMA.

Sobre uma linha recta determinada descrever um triangulo equilatero (Fig. 18).


Fig. 18

Seja a linha recta AB de um certo comprimento. Se deve sobre ella descrever um triangulo equilatero.

Com o centro A e com o intervallo AB se descreva ( Post. 3 ) o circulo BCD; e com o centro B e com o intervallo BA se descreva o circulo ACE. Do ponto C, onde os circulos se cortam reciprocamente, se tirem ( Post. 1 ) para os pontos A, B as rectas CA, CB. O triangulo ABC será equilatero. Sendo o ponto A o centro do circulo BCD, será AC=AB ( Definiç. 15 ). E sendo o ponto B o centro do circulo CAE, será BC=BA. Mas temos visto CA=AB. Logo tanto CA, como CB, é egual a AB. Mas as cousas, que são eguaes a uma terceira, são eguaes entre si ( Ax. 1 ). Logo será CA=CB. Logo as tres rectas CA, AB, BC são eguaes; e por consequencia o triangulo ABC, feito sobre a recta dada AB, é equilatero.





PROP. II. PROB.

De um ponto dado tirar uma linha recta igual á outra recta dada ( Fig. 19 ).


Fig. 19

Seja dado o ponto A, e dada tambem a recta BC. Se deve do ponto A tirar uma linha recta egual á recta dada BC.

Do ponto A para o ponto B tire-se ( Post. 1 ) a recta AB, e sobre esta se faça ( Prop. 1, 1 ) o triangulo equilatero DAB; e se produzam ( Post. 2 ) as rectas AE, BF em direitura das rectas DA, DB. Com o centro B e o intervallo BC se descreva ( Post. 3 ) o circulo CGH; e tambem com o centro D e o intervallo DG se descreva o circulo GKL. Sendo o ponto B o centro do circulo CGH, será BC=BG ( Def. 15 ). E sendo D o centro do circulo GKL, será DL=DG. Mas as partes DA, DB das rectas DL, DG são eguaes. Logo, tiradas estas, as partes residuas AL, BG serão tambem eguaes ( Ax. 3 ). Mas temos demonstrado, que é BC=BG. Logo cada uma das duas AL, BC será egual a BG. Mas as cousas eguaes a uma terceira, são eguaes entre si. Logo será AL=BC; e por consequencia temos tirado do ponto A a linha recta AL egual a outra dada BC.




PROP. III. PROB.

Dadas duas linhas rectas deseguaes, cortar da linha maior uma parte egual á linha menor ( Fig. 20 ).


Fig. 20

Sejam as duas rectas deseguaes AB, e C, e seja AB maior. Se deve da recta maior AB cortar uma parte egual á recta menor C.

Do ponto A se tire ( Pr. 2, 1 ) a recta AD=C. Com o centro A e o intervallo AD se descreva ( Post. 3 ) o circulo DEF. Porque o ponto A é o centro do circulo DEF, será AE=AD. Mas é tambem C=AD. Logo tanto AE, como C, será egual a AD; e por consequencia AE=C ( Ax. 1 ). Logo temos tirado da recta maior AB uma parte egual á recta C<AB.




PROP. IV. THEOREMA.

Se dous triangulos tiverem dous lados eguaes a dous lados, cada um a cada um; e os angulos, comprehendidos por estes lados, forem tambem eguaes, as bases e os triangulos, e os mais angulos, que são oppostos a lados eguaes, serão tambem eguaes ( Fig. 21 ).


Fig. 21

Sejam os dous triangulos ABC, DEF, cujos lados AB, AC; DE, DF são eguaes, cada um a cada um, isto é, AB=DE, e AC=DF; e seja o angulo BAC=EDF. Digo, que a base BC é egual á base EF; e que o triangulo ABC é egual ao triangulo DEF; e que os outros angulos do primeiro triangulo são eguaes aos outros do segundo, cada um a cada um, segundo ficam oppostos a lados eguaes; isto é, o angulo ABC=DEF, e ACB=DFE.

Considere-se posto o triangulo ABC sobre o triangulo DEF, de sorte que o ponto A caia sobre o ponto D, e a recta AB sobre a recta DE. O ponto B cairá sobre o ponto E, por ser AB=DE. Ajustando-se pois AB sobre DE, tambem a recta AC se ajustará sobre a recta DF, sendo o angulo BAC=EDF. Logo sendo AC=DF, o ponto C cairá sobre o ponto F. Mas temos visto, que B cai sobre E. Logo a base BC se ajustará sobre a base EF. Porque, se não se ajustarem, caindo B em E, e C em F, se seguirá, que duas linhas rectas comprehendem um espaço, o que não póde ser ( Ax. 10 ). Logo a base BC se deve ajustar sobre a base EF, e por consequencia são eguaes. Logo todo o triangulo ABC se ajusta sobre todo o triangulo DEF, e assim são eguaes; e os outros angulos do primeiro triangulo tambem se ajustam sobre os outros do segundo e são eguaes; isto é, o angulo ABC=DEF, e ACB=DFE.




PROP. V. THEOR.

Em qualquer triangulo isosceles os angulos, que estão sobre a base, são eguaes; e produzidos os lados eguaes, os angulos, que se formam debaixo da base, são tambem eguaes ( Fig. 22 ).


Fig. 22

Seja o triangulo isosceles ABC com os lados eguaes AB, AC, os quaes sejam produzidos para D e E. Digo, que será o angulo ABC=ACB, e CBD=BCE.

Tome-se na recta BD um ponto qualquer F; e da recta AE>AF se corte ( Pr. 3, 1 ) a parte AG=AF; e se tirem as rectas FC, GB. Sendo AF=AG, e AB=AC; as duas FA, AC serão eguaes ás duas GA, AB, cada uma a cada uma. E além disto comprehendem o angulo comum FAG. Logo a base FC será egual ( Pr. 4, 1 ) á base GB; e o triangulo AFC egual ao triangulo AGB; e os mais angulos eguaes aos mesmos angulos, cada um a cada um; isto é, os que são oppostos a lados eguaes, como ACF=ABG, e AFC=AGB. E sendo AF=AG, e AB=AC, tirando AB de AF e AC de AG, ficará BF=CG ( Ax. 3 ). Mas temos demonstrado, que FC=GB. Logo as duas BF, FC são eguaes ás duas CG, GB, cada uma a cada uma; e o angulo BFC=CGB. Mas a base BC é commum aos dous triangulos FBC, GCB. Logo estes dous triangulos são eguaes ( Pr. 4, 1 ); e os mais angulos delles, que forem oppostos a lados eguaes, são tambem eguaes. Logo será o angulo FBC=GCB, e BCF=CBG. Assim sendo o angulo total ABG egual ao total ACF, como se tem demonstrado; e sendo CBG=BCF, tirando CBG de ABG e BCF de ACF, ficará o angulo ABC=ACB, que são os angulos sobre a base BC do triangulo isosceles ABC. E já se tem provado FBC=GCB, que são os angulos debaixo da base BC.

COROL. Disto se segue, que todo o triangulo equilatero é tambem equiangulo.




PROP. VI. THEOR.

Se dous angulos de um triangulo forem eguaes, os lados, oppostos a estes angulos eguaes, serão tambem eguaes ( Fig. 23 ).


Fig. 23

Seja o triangulo ABC, e seja o angulo ABC=ACB. Digo, que será AB=AC.

Se não for AB=AC, uma destas duas rectas será maior que a outra. Seja AB a maior, e desta, que é maior, se corte ( Pr. 3, 1 ) DB=AC, que é menor. Tire-se a recta DC. Sendo DB=AC, e BC commum, serão as duas DB, BC eguaes ás duas AC, CB, cada uma a cada uma. Mas é o angulo DBC=ACB. Logo a base DC será egual á base AB; e o triangulo DBC egual ( Pr. 4, 1 ) ao triangulo ACB, o que é absurdo, porque DBC é menor, que ABC. Logo as rectas AB, AC não são deseguaes, e por consequencia deve ser AB=AC.

COROL. Desta proposição se infere, que todo o triangulo equiangulo é tambem equilatero.




PROP. VII. THEOR.

Sobre a mesma base e da mesma parte não se podem construir dous triangulos differentes, que tenham os outros lados eguaes; isto é, os dous, que partem de um mesmo termo da base e os outros dous, que partem do outro, não podem ser eguaes ( Fig. 24, 25 ).


Fig. 24


Fig.25

Se é possivel, estejam sobre a mesma base AB, e da mesma parte, os dous triangulos ACB, ADB que tenham tanto os lados CA, DA, como os lados CB, DB eguaes entre si.

Tire-se a recta CD. Ou nenhum dos vertices dos triangulos cai dentro do outro triangulo, ou um vertice de um triangulo está dentro do outro triangulo. Primeiramente nenhum vertice esteja dentro de um dos dous triangulos. Sendo AC=AD, será o angulo ACD=ADC ( Pr. 5, 1 ). Mas o angulo ACD é maior que o angulo BCD. Logo será ADC>BCD, e por consequencia BDC será muito maior que BCD. Tambem sendo CB=DB, será o angulo BDC=BCD ( Pr. 5, 1 ). Mas tem-se demonstrado BDC>BCD. Logo BDC será egual e maior ao mesmo tempo, que BCD, o que não pode ser.

Agora o vertice D do triangulo ADB esteja dentro do outro triangulo ACB ( Fig. 25 ). Produzam-se as rectas AC, AD para os pontos E, F. Sendo AC=AD, serão os angulos ECD, FDC, que são debaixo da base CD, eguaes ( Pr. 5, 1 ). Mas é o angulo ECD>BCD. Logo será FDC>BCD, e BDC será muito maior, que BCD. E porque é CB=DB, será BDC=BCD ( Pr. 5, 1 ). Mas temos visto ser BDC>BCD. Logo BDC será egual e maior ao mesmo tempo, que BCD, o que é egualmente absurdo.

Supposto que um vertice de um triangulo cáia sobre um lado do outro triangulo, não ha mister demonstração alguma.




PROP. VIII. THEOR.

Se dous triangulos tiverem dous lados eguaes a dous lados, cada um a cada um, e as bases tambem eguaes, os angulos, comprehendidos pelos lados eguaes, serão tambem eguaes ( Fig. 26 ).


Fig. 26

Sejam dous triangulos ABC, DEF, e seja o lado AB=DE, e AC=DF, e tambem a base BC=EF outra base. Digo, que será o angulo BAC=EDF.

Posto o triangulo ABC sobre o triangulo DEF de sorte, que o ponto B caia em E, e a recta BC sobre a recta EF, tambem o ponto C deve cahir sobre o ponto F, por ser BC=EF; e assim ajustando-se BC com EF, as duas BA, AC se ajustarão com as duas ED, DF. E, se ajustando-se a base BC sobre a base EF, quizermos, que os lados BA, AC se não ajustem sobre os lados ED, DF, mas tenham outro logar, como EG, GF; se poderão construir sobre a mesma base, e da mesma parte dous triangulos, cujos lados, partindo de uma e outra extremidade da base commum, sejam eguaes. Mas isto é impossivel ( Pr. 7, 1 ). Logo se a base BC se ajusta sobre a base EF, os lados BA, AC se devem ajustar sobre os lados ED, DF, e por consequencia o angulo BAC sobre o angulo EDF. Logo será BAC=EDF ( Ax. 8 ).






PROP. IX. PROB.

Dividir em duas partes eguaes um angulo rectilineo dado ( Fig. 27 ).


Fig. 27

Seja dado o angulo rectilineo BAC. Se deve dividir este angulo em duas partes eguaes.

Tome-se na recta AB qualquer ponto D, e da recta AC corte-se ( Pr. 3, 1 ) a parte AE=AD; e tirada a recta DE, sobre esta se faça ( Pr. 1, 1 ) o triangulo equilatero DEF, e se tire AF. Digo, que o angulo BAC fica dividido em duas partes eguaes pela recta AF.

Sendo AD=AE e AF commum; nos dous triangulos FDA, FEA os dous lados DA, AF serão eguaes aos dous lados EA, AF, cada um a cada um. Mas é a base DF=EF outra base. Logo será o angulo DAF=EAF ( Pr. 8, 1 ); e por consequencia o angulo rectilineo dado BAC fica dividido pela recta AF em duas partes eguaes.






PROP. X. PROB.

Dividir em duas partes eguaes uma linha recta de um comprimento dado ( Fig. 28 ).


Fig. 28

Seja dada a linha recta determinada AB. É preciso dividi-la em duas partes eguaes.

Faça-se ( Pr. 1, 1 ) sobre a recta dada AB o triangulo equilatero ABC; e com a recta CD se divida ( Pr. 9, 1 ) em duas ametades o angulo ACB. Digo, que a recta AB fica dividida em duas partes eguaes no ponto D.

Porque sendo AC=CB, e CD commum, serão as duas AC, CD eguaes ás duas BC, CD, cada uma a cada uma. Mas é o angulo ACD=BCD. Logo será ( Pr. 4, 1 ) a base AD=DB outra base. Logo temos dividido a recta determinada AB em duas partes eguaes no ponto D.

 

 

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PROP. XI. PROB.

De um ponto dado em uma linha recta dada levantar uma perpendicular sobre a mesma recta dada ( Fig. 29 ).


Fig. 23

Seja dada a recta AB, e nella o ponto C. Se deve do ponto C levantar uma perpendicular sobre a recta AB.

Tome-se na recta qualquer ponto D, e ponha-se CE=CD ( Pr. 3, 1 ), e sobre DE faça-se ( Pr. 1, 1 ) o triangulo equilatero DFE. Tire-se finalmente a recta FC. Digo, que FC é perpendicular sobre a dada AB no ponto C.

Por ser DC=CE, e FC commum; as duas DC, CF serão eguaes ás duas EC, CF, cada uma a cada uma. Mas é a base DF=FE outra base. Logo será o angulo DCF=ECF ( Pr. 8, 1 ); e estes angulos são formados um de uma, e outro de outra parte da mesma linha. Mas quando uma recta, cahindo sobre outra, faz os angulos de ambas as partes eguaes entre si, estes angulos são rectos ( Def. 10 ). Logo os angulos DCF, FCE são rectos, e assim temos levantado a perpendicular FC sobre a recta dada AB, e do ponto dado C.

COROL. Com isto podemos demonstrar, que duas linhas rectas não podem ter um segmento commum ( Fig. 30 ).


Fig. 30

Tenham as duas rectas ABC, ABD, se possivel, o segmento commum AB. Do ponto B levante-se a perpendicular BE sobre AB. Porque ABC é uma linha recta, será o angulo CBE=EBA ( Def. 10 ). Do mesmo modo sendo ABD uma linha recta, será o angulo DBE=EBA. Logo será DBE=CBE, isto é, um angulo menor egual a um maior, o que não póde ser. Logo duas linhas rectas não podem ter um segmento commum.




PROP. XII. PROB.

Conduzir uma perpendicular sobre uma linha recta dada indefinita de um ponto dado fóra d'ella ( Fig. 31 ).


Fig. 31

Seja dada uma linha recta AB, e fóra d'ella o ponto C. Deve-se do ponto C conduzir uma perpendicular sobre a recta AB.

Da outra parte da recta AB tome-se um ponto qualquer D, e com o centro C, e o intervallo CD se descreva ( Post. 3 ) o circulo EGF, que corte a recta AB nos pontos F, G; e a recta FG se divida pelo meio ( Pr. 10, 1 ) no ponto H, e se tirem as rectas CF, CH, CG. Digo, que a recta CH é perpendicular sobre a recta indefinita AB.

Sendo FH=HG, HC commum, as duas FG, HC serão eguaes ás duas HG, HC, de cada uma a cada uma. Mas é a base CF=CG ( Def. 15 ) outra base. Logo será o angulo CHF=CHG ( Pr. 8, 1 ), e por consequencia estes angulos, sendo adjacentes á mesma linha CH, serão rectos, e a recta CH, que parte do ponto C, será perpendicular sobre a recta dada indefinita AB, como se pedia.



PROP. XIII. THEOR.

Uma linha recta, cahindo sobre outra linha recta, faz com esta, ou dous angulos rectos, ou dous angulos eguaes a dous rectos ( Fig. 32, 33 ).


Fig. 32


Fig.33

Caia a recta AB sobre a recta CD, fazendo com esta os dous angulos CBA, ABD. Digo, que os angulos CBA, ABD ou são dous rectos, ou são eguaes a dous rectos.

Porque se for o angulo CBA=ABD ( Fig. 32 ), claro está, que são rectos ( Def. 10 ). E quando não seja assim: do ponto B ( Fig. 33 ) se levante ( Pr. 11, 1 ) sobre CD a perpendicular BE. Logo os angulos CBE, e EBD são dous rectos. E porque o angulo CBE é egual aos dous CBA, ABE, ajunctando de uma e outra parte o mesmo angulo EBD, serão os dous CBE, EBD eguaes aos tres CBA, ABE, EBD ( Ax. 2 ). Tambem sendo o angulo DBA egual aos dous DBE, EBA, ajunctando de ambas as partes o angulo commum ABC, serão os dous DBA, ABC eguaes aos tres DBE, EBA, ABC. Mas estes tres angulos são eguaes aos dous CBE, EBD; e as quantidades, que são eguaes a uma terceira, são eguaes entre si ( Ax. 1 ). Logo os dous angulos CBE, EBD são eguaes aos dous DBA, ABC. Mas CBE, EBD são dous recto. Logo os dous angulos DBA, ABC são eguaes a dous rectos.




PROP. XIV. THEOR.

Se um ponto de uma linha recta qualquer concorrerem de partes oppostas duas rectas, fazendo com a primeira recta os angulos adjacentes eguaes a dous rectos, as rectas, que concorrem para o dito ponto, estarão em direitura uma da outra ( Fig. 34 ).


Fig. 34

No ponto B da linha recta AB concorram de partes oppostas as duas BC, BD, fazendo com a

recta AB os angulos adjacentes ABC, ABD eguaes a dous rectos. Digo, que BD está em direitura de CB.

Se BD não está em direitura de CB, esteja-o BE, de sorte que CBE seja uma só linha recta. Cahindo a recta AB sobre a recta CBE; os angulos ABC, ABE serão eguaes a dous rectos ( Pr. 13, 1 ). Mas tambem são eguaes a dous rectos os angulos ABC, ABD. Logo os dous angulos CBA, ABE são eguaes aos dous CBA, ABD. Logo tirando de uma e outra parte o angulo commum CBA, ficará o angulo ABE=ABD ( Ax. 3 ); isto é, um angulo menor egual a um maior, o que não póde ser. Logo a recta BE não está em direitura com BC. O mesmo se póde demonstrar de qualquer outra recta fóra de BD. Logo as rectas CB, BD estão em direitura.




PROP. XV. THEOR.

Se duas linhas rectas reciprocamente se cortarem, farão os angulos verticalmente oppostos eguaes entre si ( Fig. 35 ).


Fig. 35

Cortem-se as duas rectas AB, CD reciprocamente no ponto E. Digo, que será o angulo AEC=DEB, e CEB=AED.

Porque a recta AE cai sobre a recta CD, serão os angulos CEA, EAD eguaes a dous rectos ( Pr. 13, 1 ). Do mesmo modo, cahindo DE sobre AB, serão tambem os angulos AED, DEB eguaes a dous rectos ( Pr. 13, 1 ). Logo os angulos CEA, AED são eguaes aos angulos AED, DEB. Logo tirando de uma parte e outra o commum AED, ficará CEA=BED.

Com a mesma demonstração se prova ser CEB=AED.

COROL. 1. D'isto se póde deduzir, que quando duas rectas se cortam, fazem quatro angulos eguaes a quatro rectos.

COROL. 2. E que todos os angulos ao redor de um mesmo ponto são eguaes a quatro rectos.




PROP. XVI. THEOR.

Produzido um lado qualquer de qualquer triangulo, o angulo externo sempre é maior, que cada um dos angulos internos e oppostos ( Fig. 36 ).


Fig. 36

Seja o triangulo ABC, cujo lado BC seja produzido para a parte D. Digo, que o angulo externo ACD é maior, que qualquer dos internos e oppostos CBA, BAC.

Divida-se o lado AC em duas partes eguaes ( Pr. 10, 1 ), no ponto E; e tirada a recta BE, esta se continue até F de sorte que seja BE=EF. Tire-se FC, e o lado AC seja produzido para G. Sendo AE=EC, e BE=EF, as duas AE, EB serão eguaes ás duas CE, EF, cada uma a cada uma. Mas é o angulo AEB=CEF ( Pr. 15, 1 ) por serem estes angulos verticalmente oppostos. Logo a base AB é egual á base CF: e o triangulo AEB egual ao triangulo CEF; e os mais angulos eguaes aos mais angulos ( Pr. 4, 1 ), cada um a cada um, segundo ficam oppostos a lados eguaes. Logo será o angulo BAE=ECF. Mas é o angulo ECD>ECF. Logo será tambem ACD>BAE. Com o mesmo discurso, dividido pelo meio o lado BC, se demonstra ser o angulo BCG, isto é, ACD>ABC ( Pr. 15, 1 ).




PROP. XVII. THEOR.

Dous angulos de um triangulo qualquer, tomados de qualquer modo, que se quiser, são menores que dous rectos ( Fig. 37 ).


Fig. 37

Seja o triangulo ABC. Digo, que dous angulos quaesquer do triangulo ABC, tomados junctamente, são menores que dous rectos.

Produza-se BC para D. Sendo no triangulo ABC o angulo externo ACD maior ( Pr. 16, 1 ), que o angulo interno e opposto ABC; se a um e outro se ajunctar o angulo commum ACB, os angulos ACD, ACB junctos serão maiores, que os angulos ABC, ACB. Mas ACD, ACB são eguaes a dous rectos ( Pr. 13, 1 ). Logo os dous angulos ABC, BCA são menores, que dous rectos. Do mesmo modo podemos demonstrar serem os angulos BAC, ACB; e os angulos CAB, ABC menores que dous rectos.




PROP. XVIII. THEOR.

Em qualquer triangulo o lado maior oppõe-se ao angulo maior ( Fig. 38 ).


Fig. 38

Seja o triangulo ABC, e seja o lado AC>AB. Digo, que é o angulo ABC>BCA. Sendo AC>AB, se poderá tomar AD=AB ( Pr. 3, 1 ). Tire-se a recta BD. Porque no triangulo BDC o angulo externo ADB é maior, que o angulo interno e opposto BCD ( Pr. 16, 1 ); e é ADB=ABD, por ser AB=AD ( Pr. 5, 1 ); será o angulo ABD>ACB, e por consequencia ABC muito maior que ACB.




PROP. XIX. THEOR.

Em qualquer triangulo o angulo maior fica opposto ao lado maior ( Fig. 39 ).


Fig. 39

Seja o triangulo ABC, e seja o angulo ABC>BCA. Digo, que é o lado AC>AB.

Se AC não é maior, será egual, ou menor, que AB. Mas não é egual, porque seria ABC=ACB ( Pr. 5, 1 ), contra a suposicão. Logo não é AC=AB. Tambem não pode ser AC<AB, porque seria ABC<ACB ( Pr. 18, 1 ) contra a hypothese. Logo não é AC<AB. Logo segue-se ser AC>AB.




PROP. XX. THEOR.

Em qualquer triangulo dous lados, tomados de qualquer modo que se quizer, são maiores que o terceiro ( Fig. 40 ).


Fig. 40

Seja o triangulo ABC. Digo, que dous quaesquer lados do triangulo ABC são maiores que o terceiro; isto é, os lados BA, AC são maiores que o lado BC; os lados AB, BC são maiores que o lado AC; e os lados BC, CA são maiores que o lado AB.

Produza-se BA para D, e posta AD=CA ( Pr. 3, 1 ), tire-se a recta DC. Sendo DA=AC, será o angulo ADC=ACD ( Pr. 5, 1 ). Mas é BCD>ACD. Logo será BCD>ADC. E porque no triangulo DCB é o angulo BCD>BDC; e ao angulo maior fica opposto o lado tambem maior ( Pr. 19, 1 ), será o lado DB>BC. Mas DB é egual aos dous lados junctos BA, AC. Logo os dous lados BA, AC são maiores que o lado BC. Do mesmo modo se prova, que os lados AB, BC são maiores que o lado CA; e que os lados BC, CA são maiores que o lado AB.



 

PROP. XXI. THEOR.

Se sobre os extremos de um lado de um triangulo estiverem postas duas rectas dentro do mesmo triangulo, estas serão menores que os outros dous lados do triangulo, mas comprehenderão um angulo maior do que o angulo, que fica opposto ao lado, sobre cujos extremos estão postas as dictas rectas ( Fig. 41 ).


Fig. 41

Sobre os extremos B, C do lado BC do triangulo ABC estejam postas as rectas BD, DC dentro do mesmo triangulo ABC. Digo, que as rectas BD, DC são menores que os outros lados do triangulo BA, AC; mas que o angulo BDC é maior que o angulo BAC.

Produza-se BD até E. Porque dous quaesquer lados de um triangulo são maiores que o terceiro ( Pr. 20, 1 ); serão os dous lados BA, AE do triangulo ABE maiores que o lado BE. Ajuncte-se a uma e outra parte a recta EC. Logo BA, AC serã maiores ( Ax. 4 ) que BE, EC. E porque no triangulo CED os dous lados CE, ED são maiores que o lado CD, ajunctando a commum DB, serão as duas CE, EB maiores ( Ax. 4 ) que as duas CD, DB; e por consequencia BA, AC, serão muito maiores que BD, DC.

E porque em qualquer triangulo o angulo externo é maior que o interno e opposto ( Pr. 16, 1 ), no triangulo CDE será o angulo externo BDC>CEB. Pela mesma razão no triangulo ABE deve ser o angulo CEB>BAC; e por consequencia será o angulo BDC muito maior que o angulo BAC.




PROP. XXII. PROB.

Construir um triangulo com tres linhas rectas eguaes a tres outras dadas, entre as quaes duas, tomadas como se quizer, sejam sempre maiores que a terceira ( Fig. 42 ).


Fig. 42

Sejam dadas as tres rectas A, B, C, das quaes duas tomadas como se quizer, sejam maiores que a terceira, isto é, as duas A, B>C; as duas A, C>B; e as duas B, C>A ( Pr. 20, 1 ). Deve-se formar um triangulo de tres lados eguaes ás tres rectas dadas A, B, C.

Tire-se de qualquer ponto D uma recta infinita DE, e ponha-se ( Pr. 3, 1 ) DF=A; FG=B; e GH=C. Com o centro F, e o intervallo FD se descreva ( Post. 3 ) o circulo DKL; e com o centro G, e o intervallo GH se descreva o circulo KLH. Tirem-se as rectas KF, KG. Digo, que o triangulo KFG é o que se pede.

Sendo o ponto F o centro do circulo DKL, será FD=FK ( Def. 15 ). Mas é FD=A. Logo será FK=A. E sendo o ponto G o centro do circulo LKH, será GH=GK. Mas é GH=C. Logo será GK=C. Mas se tem tomado FG=B. Logo as tres rectas KF, FG, GK são eguaes ás tres dadas A, B, C, e o triangulo KFG é o, que se pedia.

 

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DE
EUCLIDES

 

PROP. XXIII. PROB.

Em um ponto de uma linha recta dada formar um angulo rectilineo dado ( Fig. 43 ).


Fig. 43

Seja dada a recta AB, e nella o ponto A; e seja dado o angulo rectilineo DCE. Deve-se formar no ponto A, e com a recta dada AB um angulo rectilineo egual ao angulo proposto DCE.

Tomados os pontos D, E, como se quizer, nos lados do angulo DCE, tire-se a recta DE; e com os tres lados, que sejam eguaes á tres rectas CD, DE, EC, se faça ( Pr. 22, 1 ) o triangulo AFG, e seja CD=AF, CE=AG, e DE=FG. Digo, que o angulo FAG será egual ao proposto DCE. Porque as duas DC, CE são eguaes ás duas FA, AG, cada uma a cada uma, e a base DE=FG outra base; será o angulo DCE=FAG ( Pr. 8, 1 ). Logo com a recta dada AB, e no ponto A temos feito o angulo rectilineo FAG egual ao angulo rectilineo dado DCE.

PROP. XXIV. THEOR.

Se dous triangulos tiverem dous lados eguaes a dous lados, cada um a cada um, e um dos angulos comprehendidos pelos lados eguaes for maior, e o outro menor; a base, que estiver opposta ao angulo maior, será maior que a outra base opposta ao angulo menor ( Fig. 44 ).


Fig. 44

Sejam os dous triangulos ABC, DEF, que tenham os lados AB, AC eguaes aos lados DE, DF, cada um a cada um, isto é, o lado AB=DE, e AC=DF; e seja o angulo BAC>EDF. Digo, que será tambem a base BC>EF, que é a outra base.

Seja DE não maior que DF. Com a recta DE e no ponto D faça-se ( Pr. 23, 1 ) o angulo EDG=BAC; e posta DG=DF ( Pr. 3, 1 ), tirem-se as rectas EG, GF. Sendo AB=DE, e AC =DG, serão as duas BA, AC eguaes ás duas ED, DG, cada uma a cada uma. Mas é o angulo BAC=EDG. Logo será a base BC=EG outra base ( Pr. 4, 1 ). E sendo DG=DF, será o angulo DFG=DGF ( Pr. 5, 1 ). Mas é o angulo DGF>EGF. Logo Logo será o angulo DFG>EGF. Logo o angulo EFG é muito maior que o angulo EGF. E porque no triangulo EFG é o angulo EFG>EGF; e ao angulo maior fica opposto o lado tambem maior ( Pr. 19, 1 ), será o lado EG>EF. Mas é EG=BC. Logo será BC>EF.




PROP. XXV. THEOR.

Se em dous triangulos forem dous lados de um eguaes a dous lados de outro, cada um a cada um, e for a base de um triangulo maior que a base do outro; aquelle dos angulos comprehendidos pelos lados eguaes, que ficar opposto á base maior, será maior que o outro opposto á base menor ( Fig. 45 ).


Fig. 45

Sejam os dous triangulos ABC, DEF, que tenham os dous lados AB, AC eguaes aos lados DE, DF, cada um a cada um, isto é, AB=DE, e AC=DF, e seja a base BC>EF. Digo, que será o angulo BAC>EDF.

Se não é BAC>EDF, será ou egual, ou menor. Mas não póde ser BAC=EDF, porque seria BC=EF ( Pr. 4, 1 ) contra o, que temos supposto. Logo não é BAC=EDF. Mas nem póde ser BAC<EDF, porque seria BC<EF ( Pr. 24, 1 ) contra a hypothese. Logo não é BAC<EDF; e por consequencia deve ser BAC>EDF.




PROP. XXVI. THEOR.

Se em dous triangulos dous angulos de um forem eguaes a dous angulos do outro, cada um a cada um, e um lado do primeiro egual a um lado do outro, e forem estes lados ou adjacentes, ou oppostos a angulos eguaes; os outros lados dos dous triangulos serão eguaes aos outros lados, cada um a cada um; e tambem o terceiro angulo será egual ao terceiro ( Fig. 46 ).


Fig. 46

Sejam os dous triangulos ABC, DEF, que tenham os angulos ABC, BCA eguaes aos angulos DEF, EFD, cada um a cada um, isto é, ABC=DEF, e BCA=EFD; e tenham um lado egual a um lado, e sejam estes lados em primeiro lugar adjacentes a angulos eguaes, isto é, BC=EF. Digo, que os outros lados são eguaes aos outros lados, cada um a cada um, isto é AB=DE, e AC=DF; e o angulo BAC=EDF outro angulo.

Se AB, DE não são rectas eguaes, uma dellas será maior. Seja AB maior. Ponha-se BG=DE, e tire-se a recta GC. Sendo BG=DE, e BC=EF, as duas GB, BC seram eguaes ás duas DE, EF, cada uma a cada uma. Mas é o angulo GBC=DEF. Logo será a base GC=DF outra base ( Pr. 4, 1 ); e o triangulo GBC=DEF outro triangulo; e os outros angulos oppostos a lados eguaes serão respectivamente eguaes entre si. Logo será o angulo GCB=DFE. Mas temos posto DFE=BCA. Logo será o angulo BCG=BCA, isto é, um angulo menor egual a um maior, o que não póde ser, e por consequencia AB, DE não são deseguaes. Logo são eguaes. Mas é BC=EF. Logo as duas AB, BC são eguaes ás duas DE, EF, cada uma a cada uma. Mas é tambem o angulo ABC=DEF. Logo será a base AC=DF, que é a outra base, e o angulo BAC=EDF ( Pr. 4, 1 ).

Sejam agora eguaes os lados ( Fig. 47 ), que ficam oppostos a angulos eguaes, isto é, seja AB=DE. Digo outra vez, que os outros lados são eguaes aos outros lados, isto é, AC=DF, e BC=EF; e tambem que é o angulo BAC=EDF.


Fig. 47

Se as rectas BC, EF não são eguaes, uma dellas será maior que a outra. Seja BC, se é possivel, a maior; e posta BH=EF, tire-se a recta AH. Sendo BH=EF, e AB=DE; as duas AB, BH serão eguaes ás duas DE, EF, cada uma a cada. Mas os angulos feitos por estas rectas são eguaes. Logo a base AH será egual á base DF; e o triangulo ABH egual ao triangulo DEF; e os outros angulos eguaes aos outros angulos, segundo ficam oppostos a lados eguaes. Logo será o angulo BHA=EFD. Mas pela hypothese é EFD=BCA. Logo será BHA=BCA; isto é, o angulo externo BHA do triangulo AHC será egual ao interno e opposto BCA, o que não póde ser ( Pr. 16, 1 ). Logo as rectas BC, EF não são deseguaes. Logo são eguaes. Mas é AB=DE. Logo as duas AB, BC são eguaes ás duas DE, EF, cada uma a cada uma. Mas os angulos feitos por ellas são eguaes. Logo é a base AC=DF outra base, e o angulo BAC=EDF.




PROP. XXVII. THEOR.

Se uma recta, cortando outras duas rectas, fizer com ellas os angulos alternos eguaes: as mesmas duas rectas serão parallelas ( Fig. 48 ).


Fig. 48

A recta EF corte as duas outras AB, CD, e faça com ellas os angulos alternos AEF, EFD eguaes. Digo, que AB, CD são duas parallelas.

Se AB, CD não são parallelas, produzidas hão de concorrer ou para as partes B, D, ou para as partes A, C. Produzam-se, e concorram para as partes B, D no ponto G. Logo no triangulo GFE deve ser o angulo externo AEF>EFG, que é o interno e opposto ( Pr. 16, 1 ). Mas pela hypothese era AEF=EFG, o que já não póde ser. Logo as duas rectas AB, CD produzidas para as partes B, D não concorrem. Do mesmo modo se demonstrará, que nem podem concorrer para as partes A, C. Mas as linhas rectas, que produzidas nunca concorrem nem para uma, nem para outra parte, são parallelas ( Def. 35 ). Logo as duas rectas AB, CD são parallelas.




PROP. XVIII. THEOR.

Se uma recta cortar outras duas, e fizer o angulo externo egual ao interno e opposto da mesma parte; ou tambem os dous internos da mesma parte eguaes a dous rectos; as mesmas rectas serão parallelas ( Pr. 49 ).

A recta EF corte as duas AB, CD, e faça o angulo externo EGB=GHD, que é o interno e opposto da mesma parte; ou faça os dous internos da mesma parte BGH, GHD eguaes a dous rectos. Digo, que as rectas AB, CD são parallelas.

Sendo o angulo EGB=GHD, e EGB=AGH ( Pr. 15, 1 ); será AGH=GHD. Mas são alternos. Logo AB será parallela a CD ( Pr. 27, 1 ). E porque os angulos BGH, GHD são eguaes a dous rectos, pela hypothese; e tambem os angulos AGH, BGH são eguaes a dous rectos ( Pr. 13, 1 ); os dous AGH, BGH serão eguaes aos dous BGH, GHD. Logo tirando o angulo commum BGH, ficará AGH=GHD. Mas são alternos. Logo as duas rectas AB, CD são parallelas.




PROP. XXIX. THEOR.

Uma linha recta, que corta duas rectas parallelas, faz os angulos alternos eguaes entre si; o angulo externo egual ao interno e opposto da mesma parte, e finalmente os internos da mesma parte eguaes a dous rectos ( Fig. 49 ).


Fig. 49

A linha recta EF corte as duas AB, CD parallelas. Digo, que fará com ellas os angulos alternos AGH, GHD eguaes; e que o angulo externo EGB será egual ao interno e opposto da mesma parte GHD; e que os internos e da mesma parte BGH, GHD serão eguaes a dous rectos.

Se não for o angulo AGH=GHD, um será maior que o outro. Seja AGH o maior. Sendo AGH>GHD, se ajunctarmos a uma e outra parte o mesmo angulo BGH, os angulos AGH, BGH serão maiores que os angulos BGH, GHD. Mas os angulos AGH, BGH são eguaes a dous rectos ( Pr. 13, 1 ). Logo os angulos BGH, GHD são menores que dous rectos. Mas as rectas, que com outra fazem os angulos internos da mesma parte menores que dous rectos, produzidas ao infinito finalmente concorrem ( Ax. 12 ). Logo as rectas AB, CD produzidas ao infinito concorrem entre si. Mas isto não póde succeder, porque são parallelas. Logo os angulos AGH, GHD não são deseguaes, e por consequencia será AGH=GHD. Mas é tambem AGH=EGB ( Pr. 15, 1 ). Logo será EGB=GHD. Ajuncte-se-lhes o mesmo angulo BGH; serão os angulos EGB, BGH eguaes aos angulos BGH, GHD. Mas EGB, BGH são eguaes a dous rectos ( Pr. 13, 1 ). Logo tambem os angulos BGH, GHD são eguaes a dous rectos ( Vej. as not. a esta Prop. ).




PROP. XXX. THEOR.

As linhas rectas, que são parallelas a uma mesma linha recta, são parallelas entre si ( Fig. 50 ).


Fig. 50

Sejam as rectas AB, CD parallelas á mesma EF. Digo, que as rectas AB, CD são parallelas entre si.

A recta GHK corta as tres rectas AB, EF, CD nos pontos G, H, K. Porque a recta GK corta as duas parallelas AB, EF em G, e H, será o angulo AGH=GHF ( Pr. 29, 1 ). E porque a mesma recta GK corta as parallelas EF, CD em H, e K, será tambem o angulo GHF=GKD. Mas temos visto ser AGK=GHF. Logo será AGK=GKD. Mas são os angulos alternos. Logo as rectas AB, CD são entre si parallelas ( Pr. 27, 1 ).




 

 

PROP. XXXI. PROB.

De um ponto dado conduzir uma linha recta parellela a outra linha recta dada ( Fig. 51 ).


Fig. 51

Seja o ponto A, e a recta BC. Deve-se do ponto A conduzir uma linha recta, que seja parallela á recta BC.

Tome-se na recta BC um qualquer ponto D, do qual se tire a recta DA para o ponto A. Com a recta DA se faça no ponto A o angulo DAE=ADC ( Pr. 23, 1 ); e se produza EA para F. Digo, que estará feito o, que se pede.

Porque a recta AD cortando as duas BC, EF, faz os angulos alternos EAD, ADC eguaes entre si; será EF parallela a BC ( Pr. 27, 1 ). Logo do ponto A temos conduzido a recta EAF parallela á recta dada BC.




PROP. XXXII. THEOR.

Em todo o triangulo produzido um lado qualquer, o angulo externo é egual aos dous internos e oppostos; e os tres angulos internos de um triangulo são eguaes a dous rectos ( Fig. 52 ).


Fig. 52

Seja o triangulo ABC, e um lado delle BC saja produzido para D. Digo, que o angulo externo ACD é egual aos dous internos e oppostos CAB, ABC; e que os tres angulos internos ABC, BCA, CAB do mesmo triangulo ABC são eguaes a dous rectos.

Pelo ponto C tire-se a recta CE parallela a AB ( Pr. 31, 1 ). Sendo AB, CE parallelas, e cortadas pela recta AC; os angulos alternos BAC, ACE serão eguaes ( Pr. 29, 1 ). E as mesmas parallelas AB, CE, sendo cortadas pela recta BD, o angulo externo ECD será egual ao interno e opposto ABC ( Pr. 29, 1 ). Mas temos demonstrado ser ACE=BAC. Logo o angulo externo e total ACD é egual aos dous internos e oppostos CAB, ABC. Ajuncte-se-lhes o mesmo ACB; e os dous ACD, ACB serão eguaes aos tres CBA, BAC, ACB. Mas os dous ACD, ACB são eguaes a dous rectos ( Pr. 13, 1 ). Logo os tres CBA, BAC, ACB serão tambem eguaes a dous rectos.

COROL. 1. Todos os angulos internos de qualquer figura rectilinea, junctamente com quatro rectos, são eguaes a duas vezes tantos rectos, quantos são os lados da figura ( Fig. 53 ).


Fig. 53

Uma figura rectilinea qualquer ABCDE se póde dividir em tantos triangulos, quantos são os lados da mesma figura, tomando, como se quizer, dentro da figura um ponto F, e tirando deste ponto para todos os angulos da figura outras tantas rectas, como FA, FB, FC, FD, FE. Mas pelas precedente proposição todos os angulos destes triangulos tomados junctamente são eguaes a duas vezes tantos rectos, quantos são os mesmos triamgulos, isto é, quantos são os lados da figura; e ao mesmo tempo os ditos angulos são eguaes aos angulos da figura junctamente com os outros ao redor do ponto F, que é o vertice commum de todos os triangulos, isto é, junctamente com quatro rectos ( Cor. 2, Pr. 15, 1 ). Logo todo os angulos da figura, e mais quatro rectos, são eguaes a duas vezes tantos rectos, quantos são os lados da mesma figura.

COROL. 2. Todos os angulos externos de uma figura qualquer tomado junctamente são eguaes a quatro rectos ( Fig. 54 ).


Fig. 54

O angulo interno ABC junctamente com o externo adjacente ABD é egual a dous rectos ( Pr. 13, 1 ). Logo todos os internos junctamente com todos os externos são eguaes a duas vezes tantos rectos, quantos são os lados da figura; isto é, pelo Corollario precedente, são eguaes a todos os angulos internos da figura junctamente com quatro rectos. Logo tirados os angulos internos, ficarão os externos eguaes a quatro rectos.

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DE
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PROP. XXXIII. THEOR.

As rectas, que da mesma parte estão postas entre as extremidades de duas outras rectas eguaes e parallelas, são tambem eguaes e parallelas ( Fig. 55 ).


Fig. 55

Sejam as duas rectas AB, CD eguaes e parallelas, e entre os extremos della A, C, B, D estejam postas as outras duas AC, BD. Digo que AC, BD são eguaes, e parallelas.

Tire-se a recta BC. Porque AB, CD são parallelas, e são cortadas pela recta BC, serão os angulos alternos ABC, BCD eguaes ( Pr. 29, 1 ). E sendo AB=CD, e BC commum; as duas AB, BC serão eguaes ás duas DC, CB. Mas temos o angulo ABC=BCD. Logo será a base AC=BD, que é a outra base ( Pr. 4, 1 ); e o triangulo ABC egual ao triangulo BCD; e os mais angulos eguaes aos mais angulos ( Pr. 4, 1 ), cada um a cada um, segundo ficam oppostos a lados eguaes. Logo deve ser o angulo ACB=CBD. Logo a recta BC fazendo com as duas AC, BD os angulos alternos ACB, CBD eguaes; as duas rectas AC, BD serão parallelas ( Pr. 27, 1 ). E já temos demonstrado, que são tambem eguaes.




PROP. XXXIV. THEOR.

Os lados e os angulos oppostos dos espaços formados com linhas parallelas, ou parallelogrammos, são eguaes; e todo o espaço parallelogrammo, fica dividido pela diagonal em duas partes eguaes ( Fig. 55 ).

Seja o espaço parallelogrammo ABDC, cuja diagonal é BC. Digo, que os lados e os angulos oppostos do parallelogrammo ABCD são eguaes: e que a diagonal BC divide o mesmo parallelogrammo ABDC em duas partes eguaes.

Sendo AB, CD parallelas, e cortadas pela recta BC, os angulos alternos ABC, BCD serão eguaes ( Pr. 29, 1 ). Tambem por serem parallelas as duas AC, BD, e cortadas pela mesma recta BC, devem ser eguaes entre si os angulos alternos ACB, CBD. Logo os dous triangulos ABC, CBD tem dous angulos ABC, BCA eguaes a dous angulos BCD, CBD, cada um a cada um, e um lado egual a um lado, que vem a ser o lado commum BC adjacente aos angulos eguaes. Logo os outros lados serão eguaes aos outros lados, cada um a cada um, e o angulo, que resta , egual ao outro angulo, que resta ( Pr. 26, 1 ). Logo será AB=CD, AC=BD, e o angulo BAC=BDC. E sendo ABC=BCD, e CBD=ACB; será o angulo total ABD=ACD tambem toal. Mas temos demonstrado ser o angulo BAC=BDC. Logo os lados e os angulos oppostos do parallelogrammo ABDC são eguaes. Deve-se agora demonstrar, que o parallelogrammo ABDC fica dividido em duas partes eguaes pela diagonal BC. Sendo AB=CD, e BC commum, serão as duas AB, BC eguaes ás duas DC, CB, cada uma a cada uma. Mas temos o angulo ABC=BCD. Logo será o triangulo ABC=BCD outro triangulo ( Pr. 4, 1 ). Logo a diagonal BC divide em duas partes eguaes o parallelogrammo ABDC.




PROP. XXXV. THEOR.

Os parallelogrammos, que estão postos sobre a mesma base, e entre as mesmas parallelas, são eguaes ( Pr. 56, 57 ).

Sejam os parallelogrammos ABCD, EBCF sobra a mesma base BC ( Fig. 57 ), e entre as mesmas parallelas AF, BC. Digo, que o parallelogrammo ABCD é egual ao parallelogrammo EBCF.

Se os lados AD, DF ( Fig. 56 ) dos parallelogrammos ABCD, DBCF oppostos á base commum BC tiverem um termo commum D; claro está, que, sendo os parallelogrammos ABCD, DBCF cada um o dobro do mesmo triangulo BDC ( Pr. 34, 1 ), serão eguaes entre si.


Fig. 56

Mas os lados AD, EF ( Fig. 57 ) não sejam terminados no mesmo ponto. No parallelogrammo ABCD é AD=BC ( Pr. 34, 1 ), e no parallelogrammo EBCF é EF=BC. Logo será AD=EF ( Ax. 1 ). Ajuncte-se a mesma recta DE, ou tire-se. Será AE=DF, isto é, o todo egual ao todo, ou o resto egual ao resto ( Ax. 2, 3 ). Mas é AB=DC. Logo as duas EA, AB são eguaes ás duas FD, DC, cada uma a cada uma. Mas o angulo externo FDC é egual ( Pr. 29, 2 ) ao interno EAB. Será o triangulo EAB=FDC outro triangulo ( Pr. 4, 1 ). Do trapezio ABCF tire-se o triangulo FDC; e do mesmo trapezio ABCF tire-se o triangulo EAB. Logo os parallelogrammos ABCD, EBCF, que são os restos, serão eguaes ( Ax. 3 ) entresi.


Fig. 57

PROP. XXXVI. THEOR.

Os parallelogrammos, que estão postos sobre bases eguaes, e entre as mesmas parallelas, são eguaes ( Fig. 58 ).


Fig. 58

Os parallelogrammos ABCD, EFGH estejam postos sobre as bases eguaes BC, FG, e entre as mesmas parallelas AH, BG. Digo, que estes parallelogrammos são eguaes.

Tirem-se as rectas BE, CH. Sendo BC=FG, e FG=EH ( Pr. 34, 1 ), será BC=EH. Mas BC, EH são parallelas; e entre os termos d'ellas B, E, C, H estão tiradas as rectas BE, CH; e as rectas, que estão tiradas entre os extremos de duas outras eguaes e parallelas, e da mesma parte são tambem eguaes e parallelas ( Pr. 33, 1 ). Logo EB, CH são eguaes e parallelas. Logo EBCH é um parallelogrammo, egual ao parallelogrammo ABCD ( Pr. 35, 1 ), por ter a mesma base BC, e por estar entre as mesmas parallelas BC, AD. Pela mesma razão será o parallelogrammo EFGH=EBCH outro parallelogrammo. Logo os parallelogrammos ABCD, EFGH serão eguaes entre si.




PROP. XXXVII. THEOR.

Os triangulos, que estão postos sobre a mesma base, e entre as mesmas parallelas, são eguaes ( Fig. 59 ).


Fig. 59

Os triangulos ABC, DBC estejam postos sobre a mesma base BC, e entre as mesmas parallelas AD, BC. Digo, que os triangulos ABC, DBC são eguaes.

Produza-se AD de uma e outra parte para E, e F, e pelo ponto B tire-se BE parallela a CA, e pelo ponto C tire-se CF parallela a BD ( Pr. 31, 1 ). Logo EBCA, DBCF serão dous parallelogrammos. Mas estes parallelogrammos são eguaes ( Pr. 35, 1 ), por estarem sobre a mesma base BC, e entre as mesmas parallelas BC, EF; e o triangulo ABC é ametade ( Pr. 34, 1 ) do parallelogrammo EBCA, que fica dividido em duas partes eguaes pela diagonal AB, como tambem o triangulo DBC é ametade do parallelogrammo DBCF, que é dividido em duas partes eguaes pela diagonal DC. Logo será o triangulo ABC=DBC outro triangulo, porque as ametades de quantidades eguaes são tambem eguaes ( Ax. 7 ).




PROP. XXXVIII. THEOR.

Os triangulos, que estão sobre bases eguaes, e entre as mesmas parallelas, são eguaes ( Fig. 60 ).


Fig. 60

Sejam os triangulos ABC, DEF postos sobre as bases eguaes BC, EF, e entre as mesmas parallelas BF, AD. Digo, que os triangulos ABC, DEF são eguaes.

Produza-se de uma e outra parte a recta AD para G, e H; e pelo ponto B tire-se a recta BG parallela a CA, e pelo ponto F a recta FH parallela a ED ( Pr. 31, 1 ). Serão GBCA, DEFH dous parallelogrammos. Mas estes parallelogrammos são eguaes ( Pr. 36, 1 ), porque estão sobre as bases eguaes BC, EF, e entre as mesmas parallelas BF, GH; e o triangulo ABC é ametade do parallelogrammo GBCA, como tambem o triangulo DEF é ametade do parallelogrammo DEFH ( Pr. 34, 1 ). Logo será o triangulo ABC=DEF outro triangulo, por serem eguaes as ametades de quantidades eguaes ( Ax. 7 ).




PROP. XXXIX. THEOR.

Os triangulos eguaes postos sobre a mesma base, e da mesma parte, estão entre as mesmas parallelas ( Fig. 61 ).


Fig. 61

Sejam os triangulos ABC, DBC sobre a mesma base BC, e da mesma parte. Digo, que os triangulos ABC, DBC estão entre as mesmas parallelas.

Tire-se a recta AD. Digo, que AD é parallela a BC. Se AD não é parallela a BC, pelo ponto A se faça passar outra recta AE parallela ( Pr. 31, 1 ) a BC, e se tire EC. Logo os triangulos ABC, EBC, são eguaes ( Pr. 37, 1 ), por estarem ambos sobre a mesma base BC, e entre as mesmas parallelas BC, AE. Mas é o triangulo ABC=DBC outro triangulo. Logo será DBC=EBC, isto é, um triangulo maior egual a um menor, o que não póde ser. Logo as rectas AE, BC não são parallelas. O mesmo se demonstra de outra recta qualquer, que não seja a recta AD. Logo AD é parallela a BC.




PROP. XL. THEOR.

Os triangulos eguaes postos sobre bases eguaes, e da mesma parte, estão entre as mesmas parallelas ( Fig. 62 ).


Fig. 62

Sejam os triangulos eguaes ABC, DEF sobre as bases eguaes BC, EF, e da mesma parte. Digo, que estes triangulos estão entre as mesmas parallelas.

Tire-se a recta AD. Digo, que Ad é parallela a BF. Se AD não é parallela a BF, pelo ponto A tire-se AG parallela ( Pr. 31, 1 ) a BF, e se conduza a recta GF. Os triangulos ABC, GEF são eguaes ( Pr. 38, 1 ), porque estão postos sobre as bases eguaes BC, EF, e entre as mesmas parallelas BF, AG. Mas o triangulo ABC é egual ao triangulo DEF. Logo será tambem DEF=GEF, isto é, um triangulo maior egual a um menor, o que não é possivel. Logo AG não é parallela a BF. Do mesmo mode se prova, que nenhuma outra recta, fóra a recta AD, é parallela a BF. Logo as duas AD, BF são parallelas.




PROP. XLI. THEOR.

Se um parallelogrammo e un triangulo estiverem sobre a mesma base, e entre as mesmas parallelas; o parallelogrammo será o dobro do triangulo ( Fig. 63 ).


Fig. 63

Estejam sobre a mesma base BC, e entre as mesma parallelas BC, AE o parallelogrammo ABCD, e o triangulo EBC. Digo, que o parallelogrammo ABCD é o dobro do triangulo EBC.

Tire-se a recta AC. Logo os triangulos ABC, EBC são eguaes ( Pr. 37, 1 ), por estarem sobre a mesma base BC, e entre as mesmas parallelas BC, AE. Mas o parallelogrammo ABCD é o dobro do triangulo ABC ( Pr. 34, 1 ), porque é dividido em duas partes eguaes pela diagonal AC. Logo tambem o parallelogrammo ABCD será o dobro do triangulo EBC.




 

PROP. XLII. PROB.

Construir um parallelogrammo, que seja egual a um triangulo dado, e que tenha um angulo egual a outro angulo dado ( Fig. 64 ).


Fig. 64

Seja dado o triangulo ABC, e o angulo rectilineo D. Deve-se construir um parallelogrammo egual ao triangulo ABC, e com um angulo egual ao angulo D.

Divida-se a base BC em duas partes eguaes ( Pr. 10, 1 ) no ponto E; tire-se AE, e com a recta EC no ponto E se faça ( Pr. 23, 1 ) o angulo CEF=D. Pelo ponto A se conduza AG parallela ( Pr. 31, 1 ) a EC, e pelo ponto C a recta CG parallela a EF. Será FECG em parallelogrammo. E sendo BE=EC, o triangulo ABE será egual ao triangulo AEC ( Pr. 38, 1 ), por estarem ambos sobre as bases eguaes BE, EC, e entre as mesmas parallelas BC, AG. Logo o triangulo ABC é o dobro do triangulo AEC. Mas tambem o parallelogrammo FECG é o dobro ( Pr. 41, 1 ) do mesmo triangulo AEC, que se acha sobre a mesma base, e entre as mesmas parallelas que o parallelogrammo FECG. Logo o parallelogrammo FECG é ( Ax. 6 ) egual ao triangulo ABC, e tem o angulo CEF=D, que é o angulo dado. Logo temos constituido o parallelogrammo, que se pedia.




PROP. XLIII. PROB.

Em qualquer parallelogrammo os complementos dos parallelogrammos, que existem ao redor da diagonal, são eguaes entre si ( Fig. 65 ).


Fig. 65

Seja o parallelogrammo ABCD, cuja diagonal é AC; e existam ao redor da diagonal AC os parallelogrammos EH, FG; e os que se chamam complementos, serão os dous parallelogrammos BK, KD. Digo, que o complemento BK é egual ao complemento KD.

No parallelogrammo ABCD os dous triangulos ABC, ADC, são eguaes ( Pr. 34, 1 ); como tambem os dous AEK, AHK no parallelogrammo KGCF. Logo sendo o triangulo AEK egual ao triangulo AHK, e KGC=KFC; os dous AEK, KGC junctos serão eguaes aos dous tambem junctos AHK, KFC. Mas o triangulo total ABC é egual ao triangulo total ADC ( Pr. 34, 1 ). Logo o residuo, que é o complemento BK, será egual ao residuo, que é o outro complemento KD.




PROP. XLIV. THEOR.

Sobre uma linha recta dada construir um parallelogrammo egual a um triangulo dado, e que tenha um angulo egual a outro angulo rectilineo dado ( Fig. 66 ).


Fig. 66

Seja dada a recta AB, o triangulo C, e o angulo rectilineo D. Deve-se construir sobre a recta dada AB um parallelogrammo egual ao triangulo C, e que tenha um angulo egual ao angulo D.

Faça-se ( Pr. 42, 1 ) o parallelogrammo BEFG egual ao triangulo C, e com um angulo EBG egual ao angulo D. Ponha-se BE en direitura com a recta AB, e produza-se FG para H; e pelo ponto A se tire AH parallela ( Pr. 31, 1 ) a BG, ou EF; e finalmente seja conduzida a recta HB. Porque as parallelas AH, EF são cortadas pela recta HF, os angulos AHF, HFE serão eguaes a dous rectos ( Pr. 29, 1 ). Logo os dous angulos BHF, HFE são menores que dous rectos. Mas as rectas, que com uma terceira fazem os angulos internos, e da mesma parte menores que dous rectos, produzidas ao infinito finalmente concorrem ( Ax. 12 ). Logo as duas rectas HB, FE devem concorrer. Produzam-se pois, e concorram no ponto K. Por este ponto tire-se as recta KL parallela a EA, ou FH, e sejam produzidas as rectas HA, GB até L, e M. Logo HLKF é um parallelogrammo, cujo diametro é HK, e ao redor d'este diametro HK existem os parallelogrammos AG, ME, cujos complementos são os parallelogrammos LB, BF. Logo será LB=BF ( Pr. 43, 1 ). Mas o complemento BF é egual ao triangulo C. Logo o complemento LB será egual ao mesmo triangulo C. E porque o angulo GBE é egual ao angulo ABM ( Pr. 15, 1 ), e tambem é egual ao angulo D; será o angulo ABM=D. Logo sobre a linha recta dada AB temos construido o parallelogrammo LB egual ao triangulo dado C, ecom um angulo ABM egual ao proposto D.

 

LIVRO I. DOS ELEMENTOS
DE
EUCLIDES

 

PROP. XLV. THEOR.

Construir um parallelogrammo egual a uma figura rectilinea qualquer dada, e com um angulo egual a outro angulo dado ( Fig. 67 ).


Fig. 67

Seja dado o rectilineo ABCD, e o angulo rectilineo E. Deve-se construir um parallelogrammo egual ao rectilineo ABCD, e com um angulo egual ao angulo E.

Tire-se a recta DB, e faça-se ( Pr. 42, 1 ) o parallelogrammo FH egaul ao triangulo ADB, e com o angulo HKF=E. Sobre a recta GH faça-se ( Pr. 44, 1 ) o parallelogrammo GM egual ao triangulo DBC com o angulo GHM=E. Sendo o angulo E egual ao angulo FKH, e tambem egual a GHM, será FKH=GHM. Ajuncte-se-lhes o mesmo angulo KHG. Os angulos FKH, KHG serão eguaes a dous rectos ( Pr. 29, 1 ). Logo os dous KHG, GHM serão tambem eguaes a dous rectos. Logo KH estará em direitura ( Pr. 14, 1 ) com HM. E porque as parallelas KM, FG são cortadas pela recta HG, os angulos alternos MHG, HGF são eguaes ( Pr. 29, 1 ). Ajuncte-se-lhes o mesmo angulo HGL. Logo os angulos MHG, HGL são eguaes aos angulos HGF, HGL. Mas MHG, HGL são eguaes a dous rectos. Logo tambem HGF, HGL serão eguaes a dous rectos. Logo a recta FG está em direitura com a recta GL. E sendo KF parallela a HG, e HG parallela a ML, será KF parallela ( Pr. 30, 1 ) a ML. Mas KM, FL são tambem parallelas. Logo KFLM é um parallelogrammo. E porque o triangulo ABD é egual ao parallelogrammo HF; e o triangulo DBC egual ao parallelogramo GM; será o rectilineo total ABCD egual ao parallelogrammo inteiro KFLM. Logo temos construido o parallelogrammo KFLM egual ao rectilineo dado ABCD, e com o angulo FKH egual ao angulo dado E.

COR. É manisfesto, pelo que temos dicto, como se possa fazer sobre uma linha recta dada um parallelogrammo egual a um rectilineo dado, e com um angulo egual a outro dado. Deve-se sobre a recta dada formar um parallelogramo egual ( Pr. 44, 1 ) ao primeiro triangulo ABD, e que tenha um angulo egual ao angulo dado; e ir continuando o resto, como temos explicado acima.




PROP. XLVI. THEOR.

Sobre uma linha recta dada descrever em quadrado ( Fig. 68 ).


Fig. 68

Seja a recta dada AB. Sobre AB se deve construir um quadrado.

Levante-se do ponto A a recta AC perpendicular ( Pr. 11, 1 ) sobre AB; e ponha-se ( Pr. 3, 1 ) AD=AB. Pelo ponto D se faça passar a recta DE parallela ( Pr. 31, 1 ) a AB; e pelo ponto B a recta BE parallela a AD. Será ADEB um parallelogrammo. Logo será AB=DE ( Pr. 34, 1 ), e AD=BE. Mas temos feito BA=AD. Logo as quatro rectas BA, AD, DE, EB são rectas eguaes entre si, e por consequencia o parallelogramo ADEB é equilatero. Digo, que é tambem rectangulo. Porque as parallelas AB, DE são cortadas pela rectas AD, os angulos BAD, ADE serão eguaes a dous rectos ( Pr. 29, 1 ). Mas BAD é recto. Logo tambem ADE será recto. Mas nos parallelogrammos os angulos oppostos são eguaes ( Pr. 34, 1 ). Logo os dous ABE, BED, que ficam oppostos a angulos rectos, devem ser tambem rectos. Logo ADEB será rectangulo. Logo sendo equilatero, como temos provado, sobre a recta dada AB temos descripto o quadrado AE, que se pedia.

COROL. D'isto se segue, que um parallelogrammo é rectangulo, quando tem um angulo recto.




PROP. XLVII. THEOR.

Em todo o triangulo rectangulo o quadrado feito sobre o lado opposto ao angulo recto, é egual aos quadrados formados sobre os outros lados, que fazem o mesmo angulo recto ( Fig. 69 ).


Fig. 69

Seja o triangulo rectangulo ABC, cujo angulo recto seja BAC. Digo, que o quadrado feito sobre o lado BC é egual aos quadrados descriptos sobre os lados BA, AC, que formam o angulo BAC.

Descreva-se sobre BC o quadrado BDEC ( Pr. 46, 1 ), e sobre BA, AC os quadrados GB, HC. Pelo ponto A se tire AL parallela ( Pr. 31, 1 ) a BD, ou CE, e tirem-se tambem as rectas AD, FC. Porque os angulos BAC, BAG são rectos ( Def. 30 ), as duas rectas CA, AG estão em direitura uma com outra ( Pr. 14, 1 ). O mesmo será a respeito das duas AB, AH. Os angulos DBC, FBA por serem rectos, são eguaes. Ajuncte-se-lhes o mesmo angulo ABC. Logo o total DBA será egual ao total FBC ( Ax. 2 ). E sendo as duas AB, BD eguaes ás duas FB, BC, cada uma a cada uma, e o angulo DBA=FBC; será o triangulo ABD=FBC outro triangulo ( Pr. 4, 1 ). Mas o parallelogrammo BL é o dobro ( Pr. 41, 1 ) do triangulo ABD, porque está sobre a mesma base BD, e entre as mesmas parallelas FB, GC. Logo sendo eguaes os dobros de quantidades eguaes ( Ax. 6 ), deve ser o parallelogrammo BL egual ao quadrado GB. Do mesmo modo tiradas as rectas AE, BK, se demonstra, que o parallelogrammo CL é egual ao quadrado HC. Logo o quadrado inteiro BDEC feito sobre o lado BC opposto ao angulo recto BAC é egual aos dous quadrados GB, HC formados sobre os lados BA, AC, que fazem o mesmo angulo recto BAC.




PROP. XLVIII. THEOR.

Se o quadrado feito sobre um lado de um triangulo for egual aos quadrados dos outros dous lados; o angulo comprehendido por estes dous lados será recto ( Fig. 70 ).


Fig. 70

Seja o quadrado feito sobre o lado BC do triangulo ABC egual aos quadrados feitos sobre os lados BA, AC. Digo, que o angulo BAC é recto.

Levante-se o ponto A sobre AC a perpendicular AD ( Pr. 11, 1 ), e ponha-se AD=BA, e tire-se DC. Sendo DA=AB, será o quadrado sobre DA egual ao quadrado sobre AB. Ajuncte-se -lhes o quadrado de AC. Os quadrados de DA, AC serão eguaes aos quadrados de BA, AC. Mas o quadrado de DC é egual aos quadrados de AD, AC, por ser o angulo DAC recto ( Pr. 47, 1 ), e o quadrado de BC se suppõe egual aos quadrados de BA, AC. Logo o quadrado de DC será egual ao quadrado de BC. Logo será DC=CB. Sendo pois DA=AB, e AC commum, as duas DA, AC serão eguaes ás duas BA, AC. Mas é a base DC=BC outra base. Logo será o angulo DAC=BAC ( Pr. 8, 1 ). Mas o angulo DAC é recto. Logo tambem o angulo BAC será recto.

 

 

 

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